Question

宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为r）
（1）如图1，分别以线段O₁O₂的两个端点为圆心，以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案，试求两圆相交部分的面积；
（2）如图2，分别以等边△O₁O₂O₃的三个顶点为圆心，以其边长为半径，作出三个两两相交的相同的圆，这时，这三个圆相交部分的面积又是多少呢？
（3）如图3，分别以正方形O₁O₂O₃O₄的四个顶点为圆心，以其边长为半径，作出四个相同的圆，这时，这四个圆相交部分的面积又是多少呢？

Answer 1

分析：（1）设两圆交于A，B两点，连接O₁A，O₂A，O₁B，O₂B．
求两圆相交部分的面积，即求S_菱形+4S_弓的面积．由题意知△O₁O₂A为正三角形，四个弓形的圆心角为60°，分别求出求S_菱形，及弓形的面积即可；
（2）求三个圆相交部分的面积，即求S_△O1O2A+3S_弓．由题意知△O₁O₂A为正三角形，三个弓形的圆心角为60°，分别求△O₁O₂O₃的面积，及弓形的面积即可；
（3）要求四个圆相交部分的面积，即求S_正方形-4SO1AB，而SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4，由（1）可求SO1BO4．

解答：解：（1）设两圆交于A，B两点，连接O₁A，O₂A，O₁B，O₂B．
则S_阴=S_菱形+4S_弓．
∵S_菱形=2S△AO1O2，△O₁O₂A为正三角形，其边长为r．
∴S△AO1O2=

3 r2

4

，S_弓=

60πr2

360

-

3 r2

4

=

πr2

6

-

3 r2

4

．
∴S_阴=2×

3 r2

4

+4（

πr2

6

-

3 r2

4

）=

2

3

πr²-

3

2

r²．


（2）图2阴影部分的面积为：
S_阴=S△O1O2O3+3S_弓
∵△O₁O₂O₃为正三角形，边长为r，
∴S△O1O2O3=

3 r2

4

．
∴S_弓=

60πr2

360

-

3 r2

4

．
S_阴=

3 r2

4

+3（

60πr2

360

-

3 r2

4

）=

πr2

2

-

3 r2

2

．

（3）延长O₂O₁与⊙O₁交于点A，⊙O₁与⊙O₄交于点B．
由（1）知，SO1BO4=

1

2

（

2

3

πr2-

3 r2

2

）．
∵SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4=

90πr2

360

-

1

2

（

2

3

πr2-

3 r2

2

）=

πr2

4

-

1

3

πr2+

3 r2

4

，
则S正方形O1O2O3O4-4SO1AB=r²-4（

πr2

4

-

1

3

πr2+

3 r2

4

）=（

1

3

π+1-

3

）r²．

点评：本题难度较大，考查圆与圆的位置关系中，互相交错的圆的图案的面积问题，同时考查了综合应用能力及推理能力．