Question

6．如图1，一次函数y₁=k+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$（m为常数，m≠0）的图象相交于点M（1，4）和点N（4，n）．

（1）填空：
①反比例函数的解析式是y=$\frac{4}{x}$；
②根据图象写出y₁≤y₂时自变量x的取值范围是x≤1或x≥4；
（2）若将直线MN向下平移a（a＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求a的值；
（3）如图2，函数y₂=$\frac{m}{x}$的图象（x＞0）上有一个动点C，若将直线MN绕点C旋转得到直线PQ，PQ交x轴于点A，交y轴于点B，若BC=2CA，求OA•OB的值．

Answer 1

分析 （1）①把M点坐标代入可求得m的值，可求m的值，可求反比例函数解析式；②由反比例函数解析式可求得N点坐标，结合函数图象可求得答案；
（2）由M、N的坐标，利用待定系数法可求得直线MN的解析式，再求得平移后直线解析式，联立直线和反比例函数解析式，消去y可得到一元二次方程，由条件可知其判别式为0，可求得a的值；
（3）过C作CD⊥y轴于点D，由条件可得OB=OD，OA=$\frac{1}{2}$CD，再结合反比例函数解析式可求得OD•CD，则可求得OA•OB．

解答 解：
（1）①∵反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$（m为常数，m≠0）的图象过点M（1，4），
∴m=1×4=4，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$，
故答案为：y=$\frac{4}{x}$；
②∵M、N横坐标分别为x=1和x=4，
∴当y₁≤y₂时，即直线MN在反比例函数下方时对应的x的取值范围，
∴x≤1或x≥4，
故答案为：x≤1或x≥4；
（2）∵反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象过点N（4，n），
∴4n=4，解得n=1，
∴N（4，1），
设直线MN解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线MN解析式为y=-x+5，
把直线MN向下平移a个单位其解析式为y=-x+5-a，
联立直线和反比例函数解析式，消去y可得-x+5-a=$\frac{4}{x}$，
整理可得x²+（a-5）x+4=0，
∵直线MN向下平移后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，
∴方程x²+（a-5）x+4=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即（a-5）²-16=0，
解得a=9或a=1；
（3）如图，过C作CD⊥y轴于点D，

∵BC=2AC，
∴A为BC中点，
∵CD∥OA，
∴O为BD中点，
∴OB=OD，OA=$\frac{1}{2}$CD，
∵点C在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，
∴OA•OB=$\frac{1}{2}$CD•OD=$\frac{1}{2}$×4=2．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及函数图象的交点、待定系数法、图象的平移、三角形中位线定理、一元二次方程根的判别式及数形结合思想等知识．在（1）中注意两函数图象的交点坐标满足每个函数解析式，在（2）中由条件得到关于a的方程是解题的关键，在（3）中用C点的坐标表示出OA和OB是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．