Question

【题目】如图，点A在∠MON的边ON上，AB⊥OM于B，AE=OB，DE⊥ON于E，AD=AO，DC⊥OM于C．

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)若DE=3，OE=9，求AB、AD的长；

Answer 1

【答案】(1) 见解析；(2) AB、AD的长分别为3和5

【解析】

（1）根据全等三角形的判定和性质以及矩形的判定解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可．

证明：(1)∵AB⊥OM于B，DE⊥ON于E，

∴∠ABO=∠DEA=90°．

在Rt△ABO与Rt△DEA中，

∵

∴Rt△ABO≌Rt△DEA(HL)

∴∠AOB=∠DAE．

∴AD∥BC．

又∵AB⊥OM，DC⊥OM，

∴AB∥DC．

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是矩形；

(2)由(1)知Rt△ABO≌Rt△DEA，

∴AB=DE=3，

设AD=x，则OA=x，AE=OE﹣OA=9﹣x．

在Rt△DEA中，由AE2+DE2=AD2得：(9﹣x)2+32=x2，

解得x=5．

∴AD=5．即AB、AD的长分别为3和5．