Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三点，对称轴与抛物线相交于点D、与直线BC相交于点E，连接DE．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）平面直角坐标系中是否存在一点R，使点R、D、B所成三角形和△DEB全等？若存在，求点R的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△PEB的面积是△BDE的面积的一半？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三点，
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D（1，-4），
易求直线BC的解析式为y=x-3，
当x=1时，y=1-3=-2，
∴点E的坐标为（1，-2），
DE=-2-（-4）=-2+4=2，
∵点R、D、B所成三角形和△DEB全等，
∴①BR₁∥DE且BR₁=DE时，点R₁的坐标（3，-2）；
②点E、R₂关于BD对称时，设ER₂与BD相交于F，过点F作FG⊥DE于G，
由勾股定理得，BD=

42+(3-1)2

=2

5

，
∴FD=DE•cos∠BDE=2×

4

2 5

=

4 5

5

，
FG=FD•sin∠BDE=

4 5

5

×

2

2 5

=

4

5

，
DG=FD•cos∠BDE=

4 5

5

×

4

2 5

=

8

5

，
∴点R₂的横坐标是1+

4

5

×2=

13

5

，
纵坐标为-2-2×（2-

8

5

）=-

14

5

，
∴R₂的坐标为（

13

5

，-

14

5

）；
③点R₁关于BD的对称点时的点R₃的坐标时，
点R₃的横坐标为3-

4

5

×2=

7

5

，
纵坐标为-2+2×（2-

8

5

）=-

6

5

，
所以，R₃的坐标为（

7

5

，-

6

5

）；
综上所述，点R为（3，-2）或（

13

5

，-

14

5

）或（

7

5

，-

6

5

）时，点R、D、B所成三角形和△DEB全等；

（3）∵△PEB的面积是△BDE的面积的一半，
∴点P到DE的距离等于点B到DE的一半，
∵点B到DE的距离为3-1=2，
∴点P到DE的距离为1，
∴点P的横坐标为0或2，
当x=0时，y=0²-2×0-3=-3，
当x=2时，y=2²-2×2-3=-3，
∴点P的坐标为（0，-3）或（2，-3）．