Question

（12分）已知抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x²－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．
【小题1】（1）求A、B、C三点的坐标；
【小题2】（2）求此抛物线的表达式；
【小题3】（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
【小题4】（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【小题1】（1）解方程x²－10x＋16＝0得x₁＝2，x₂＝8………………………………1分
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）
又∵抛物线y＝ax²＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0） …………………………………2分
【小题2】（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax²＋bx＋c的图象上
∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得
0＝4a＋2b＋8(0＝36a－6b＋8)解得   3(8)
∴所求抛物线的表达式为y＝－3(2)x²－3(8)x＋8 ………………………………………5分
【小题3】（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，

∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10
∵EF∥AC∴△BEF∽△BAC
∴AC(EF)＝AB(BE) 即10(EF)＝8(8－m)
∴EF＝4(40－5m)…………………………………………6分
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则△FEG∽△CAO
∴EF(FG)＝ ＝5(4)∴FG＝5(4)·4(40－5m)＝8－m
∴S＝S_△BCE－S_△BFE＝2(1)（8－m）×8－2(1)（8－m）（8－m）
＝2(1)（8－m）（8－8＋m）＝2(1)（8－m）m＝－2(1)m²＋4m……………………………8分
自变量m的取值范围是0＜m＜8 …………………9分
【小题4】（4）存在．
理由：∵S＝－2(1)m²＋4m＝－2(1)（m－4）²＋8 且－2(1)＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S_最大值＝8 ………………………………10分
∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）
∴△BCE为等腰三角形． ……………………………………………12分

解析