Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，S_梯形ABCD=S，S_△AOD=S₁，S_△BOC=S₂，S_△AOB=S₃，求证：

S1

、

S2

是方程x²-

S

•x+S₃=0的两根．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：由AD∥BC，可得△BOC∽△AOD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得

OB

OD

=

S2 S1

①，由△AOB与△AOD等高，可得S_△AOB：S_△AOD=S₃：S₁=OB：OD②，联立①②可得：S₃=S₁•

S2 S1

=

S1S2

③，又由△ABC与△BCD同底等高，易得S_△COD=S_△AOB=S₃，继而求得S=S₁+2

S1S2

+S₂=（

S1

+

S2

）²，则可得

S

=

S1

+

S2

⑤，然后由韦达定理证得结论．

解答：证明：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△BOC，
∴

S1

S2

=（

OD

OB

）²，
∴

OB

OD

=

S2 S1

①，
∵△AOB与△AOD等高，
∴S_△AOB：S_△AOD=S₃：S₁=OB：OD②，
由①②得：S₃：S₁=

S2 S1

，
∴S₃=S₁•

S2 S1

=

S1S2

③，
∵△ABC与△BCD同底等高，
∴S_△ABC=S_△BCD，
∵S_△COD=S_△BCD-S_△BOC，S_△AOB=S_△ABC-S_△BOC，
∴S_△COD=S_△AOB=S₃，
∵S=S_△AOD+S_△BOC+S_△AOB+S_△COD，
∴S=S₁+S₂+S₃+S₃=S₁+2S₃+S₂④，
由③④得：S=S₁+2

S1S2

+S₂=（

S1

+

S2

）²，
∴

S

=

S1

+

S2

⑤，
∴由④⑤可得：

S1

、

S2

是方程x²-

S

•x+S₃=0的两根．

点评：此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度适中，注意掌握相似三角形面积比等于相似比的平方，等高三角形面积的比等于其对应底的比以及韦达定理的应用．