如图.在边长为2的等边△ABC中.AD⊥BC.点P为边AB 上一个动点.过P点作PF∥AC交线段BD于点F.作PG⊥AB交AD于点E.交线段CD于点G.设BP=x．(1)①试判断BG与2BP的大小关系.并说明理由,②用x的代数式表示线段DG的长.并写出自变量x的取值范围,(2)记△DEF的面积为S.求S与x之间的函数关系式.并求出S的最大值,(3)以P.E.F为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC，点P为边AB 上一个动点，过P点作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设BP=x．
（1）①试判断BG与2BP的大小关系，并说明理由；②用x的代数式表示线段DG的长，并写出自变量x的取值范围；
（2）记△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似？如果能相似，请求出BP的长，如果不能，请说明理由．

分析：（1）①BG=2BP，根据等边三角形的性质求出∠BGP=30°，根据直角三角形的性质即可得出答案；②BG=2BP，BD=

BC=1，则DG=2x-1，根据点G在线段CD上，所以求G与D、C重合时x的值即可确定自变量x的取值范围，即可解题．（2）根据勾股定理求出GP，证△EDG∽△BPG得

，代入即可求出DE，由PF∥AC，得到

，求出DF，根据三角形的面积公式即可求出答案；
（3）求出∠FPE=30°，①当∠FEP=90°时，由EF∥AB，得出

，代入即可求出x；②当∠PFE=90°时，
由△BPF是等边三角形，求出∠EFD=30°=∠PGD，根据等腰三角形的性质得到DF=DG，代入即可求出x．

解答：（1）解：①BG=2BP，
理由是：∵等边△ABC，PG⊥AB，

∴∠B=60°，∠BPG=90°，
∴∠BGP=180°-90°-60°=30°，
∴BG=2BP，
答：BG与2BP的大小关系是BG=2BP．

②解：∵BG=2BP，BD=

BC=1，
∴DG=2x-1，
∵点G在线段CD上，
∴求G与D、C重合时x的值即可确定自变量x的取值范围，
当G与D点重合时，BG=

BC=1，∴2x-1=0，即x=

，
当G与C点重合时，DG=1，∴2x-1=1，即x=1，
故x的取值范围为

≤x≤1．

（2）解：∵AD⊥BC，GP⊥AB，
由勾股定理得：GP=

BG2-BP2

x，
∴∠ADC=∠GPB=90°，
∵∠PGB=∠PGB，
∴△EDG∽△BPG，
∴

，
∴

2x-1

，
解得：DE=

，
∵PF∥AC，
∴

，
∴BP=BF=x，
∴DF=1-x，
∴s=

DE•DF=

•（

）•（1-x）=-

x²+

(x-

)2+

，
s的最大值是

，
答：S与x之间的函数关系式是∴s=-

x²+

，并求出S的最大值是

．

（3）解：相似，
∵∠BGP=30°，∠BPF=60°，
∴∠FPE=30°，
①当∠FEP=90°时，
∴EF∥AB，
∴

，
∴

1-x

，
解得：x=

，
②当∠PFE=90°时，
∵△BPF是等边三角形，
∴∠BFP=60°，
∴∠EFD=30°=∠PGD，
∴EF=EG，
∵AD⊥BC，
∴DF=DG，
即1-x=2x-1，
解得：x=

，
∴BP的长是

或

，
答：以P、E、F为顶点的三角形与△EDG相似，BP的长是

或

．

点评：本题主要考查对等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好，有一定的难度，用的数学思想是分类讨论思想．

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