Question

【题目】如图，已知△ABC内接于⊙O中，AB=，∠C=60°．

（1）求⊙O的半径；

（2） 若∠CAB=45°，点P从C点出发，沿 弧 CA 向点A滑动，滑动多长距离时△PAB会是等边三角形？

Answer 1

【答案】（1）2；（2）点P 滑动 时，△PAB会是等边三角形.

【解析】

（1）作直径AD，连接BD，如图1，利用圆周角定理得到∠ABD=90°，∠D=∠C=60°，然后在在Rt△ABD中利用∠D的正弦可计算出AD，从而得到⊙O的半径；

（2）如图2，△PAB为等边三角形，连接PO、PC，利用等边三角形的性质得∠PAB=60°，则∠PAC=15°，根据圆周角定理得到∠POC=2∠PAC=30°，然后利用弧长公式计算的长度即可．

（1）作直径AD，连接BD，如图1．

∵AD为直径，∴∠ABD=90°．

∵∠D=∠C=60°．在Rt△ABD中，∵sinD，∴AD4，∴⊙O的半径为2；

（2）如图2，△PAB为等边三角形，连接PO、PC，∴∠PAB=60°，∴∠PAC=∠PAB﹣∠CAB=60°﹣45°=15°，∴∠POC=2∠PAC=30°，∴的长度π，即点P滑动π距离时△PAB会是等边三角形．