Question

【题目】已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧面 A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2 ，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．
（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；
（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为侧面A1ACC1⊥底面ABC，AA1侧面A1ACC1，

侧面A1ACC1∩底面ABC=AC

所以直线AA1在底面ABC内的射影为直线AC

故∠A1AC为侧棱AA1与底面ABC所成的角

又AA1⊥A1C，AA1=A1C，

所以∠A1AC=45°为所求．

（2）解：取AC，AB的中点分别为M，N，连结A1M，MN，NA1

由（1）知A1M⊥AC，

故A1M⊥底面ABC，A1M⊥AB

又MN∥BC，∠ABC=90°

所以MN⊥AB，又MN∩A1M=M，所以AB⊥平面A1MN

则∠A1NM即为所求二面角的平面角

在RtA1MN中，A1M= ，AC=3，MN= BC=1，∠A1MN=90°，

所以tan∠A1MN= =3，∠A1MN=arctan3．

即所求二面角的大小为arctan3．

【解析】（1）由已知得直线AA1在底面ABC内的射影为直线AC，∠A1AC为侧棱AA1与底面ABC所成的角，由此能求出侧棱A1A与底面ABC所成角的大小．（2）取AC，AB的中点分别为M，N，连结A1M，MN，NA1 ， 由已知得∠A1NM即为所求二面角的平面角，由此能求出侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间角的异面直线所成的角的相关知识，掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．