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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=,经过点A13)、B01),过点Ax轴的平行线交抛物线于另一点C

1)求抛物线的表达式及其顶点坐标;

2)如图,点GBC上方抛物线上的一个动点,分别过点GGHBC于点H、作GEx轴于点E,交BC于点F,在点G运动的过程中,GFH的周长是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

【答案】1y=,顶点坐标为:;(2)存在,最大值为:.

【解析】

1)根据待定系数法求解即可;

2)先根据题意得出点C的坐标,从而得出直线BC的方程,求出BC的长,再根据△BCI∽△FGH得出,从而G(m, ),则F(m, )得出,当m=2时,△GFH的周长有最大值.

1)∵抛物线y=过点A13)、B01),

,解得:

即抛物线的表达式为:y=

y=

=

∴顶点坐标为:

2)∵A13),由对称轴可知C43

B01)、C43),

得直线BC的解析式为:BC=

由题意知,∠ACB=FGH

延长CAy轴交于点I,则I03

BI=2CI=4

由△BCI∽△FGH,得:,

即△GFH的周长为:C=FH+GH+FG=

G(m, ),则F(m, )

C=

=

=

∴当m=2时,△GFH的周长有最大值,最大值为:.

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