Question

【题目】如图，正方形和的边，在同一条直线上，且，取的中点，连接，，．

（1）试证明，并求的值．

（2）如图，将如图中的正方形变为菱形，设，其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含的式子表示）；若无变化，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；；（2）（1）中的值有变化．理由见解析；.

【解析】

（1）根据全等三角形的判定（AAS）和勾股定理即可得到答案；

（2）根据平行线的性质和三角函数，即可得到答案.

（1）证明：如图1中，延长交的延长线于．

∵四边形，四边形都是正方形，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，，

∵，，

∴，

∵，，

∴，，

连接，，设，则，，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴.

（2）解：（1）中的值有变化．

理由：如图2中，连接，交于点，连接，，，交于．

∵，，

∴，，

∵，

∴，，共线，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴与互相平分，

∵，

∴点在直线上，

∵，

∴四边形是矩形，

∴，

∵，，

∴，设，则，

易知，，，

∵，，

∴.