Question

如图，等边△ABC，边长为a，AD⊥BC于D点．
（1）说明2AB＞AD+BC；
（2）如果将D点沿DA向上运动到E点，当AE的长是多少时，AE=BE=EC；
（3）在（2）的基础上，说明此时3AE＜AD+BC．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC=BC，再根据两点之间垂相等最短得AB＞AD，即可得到2AB＞AD+BC；
（2）根据等边三角形的性质得∠BAD=30°，EB=EC，BD=

1

2

BC=

1

2

a，而AE=BE=EC，则∠ABE=∠BAE=30°，得到∠EBD=60°-30°=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出BE，即可得到AE；
（3）根据（2）中求出的AE可计算出3AE，而AD=

3

2

AB=

3

2

a，即可得到3AE＜AD+BC．

解答：解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，
而AD⊥BC，
∴AB＞AD，
∴2AB＞AD+BC；

（2）如图，∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴∠BAD=30°，EB=EC，BD=

1

2

BC=

1

2

a，
又∵AE=BE=EC，
∴∠ABE=∠BAE=30°，
∴∠EBD=60°-30°=30°，
在Rt△BDE中，DE=

3

3

BD=

3

6

a，
BE=2DE=

3

3

a，
∴AE的长是

3

3

a时，AE=BE=EC；

（3）∵3AE=

3

a，
而AD=

3

2

AB=

3

2

a，
∴AD+BC=a+

3

2

a，
∴3AE＜AD+BC．

点评：本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三边都相等，三个角都为60°，一边上的高、中线和这边所对的角的平分线三线合一．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．