Question

【题目】如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，连结CO，过B作BD∥OC交⊙O于D，连结AD交OC于G．延长AB、CD交于点E．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若BE＝2，DE＝4，求CD的长；

（3）在（2）的条件下，连结BC交AD于F，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6；（3）．

【解析】

（1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理可得∠CAB=90°=∠ADB，由“SAS”判定△CDO≌△CAO，则∠CDO=∠CAO=90°，然后根据切线的判定定理可得到CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O半径为r，则OD=OB=r，在Rt△ODE中利用勾股定理得到r2+42=（r+2）2，解得r=3，即OB=3，然后根据平行线分线段成比例定理，由DB∥OC得到DE：CD=BE：OB，于是可计算出CD=6；
（3）由△CDO≌△CAO得到AC=CD=6，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=3，再证明Rt△OAG∽△OCA，利用相似比计算出OG= ，则CG=OC-OG=，易得BD=2OG= ，然后利用CG∥BD得到 ．

证明：（1）如图，连接OD，

∵AC为⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴∠CAB=90°=∠ADB，
∵OD=OB，
∴∠DBO=∠BDO，
∵CO∥BD，
∴∠AOC=∠OBD，∠COD=∠ODB，
∴∠AOC=∠COD，且AO=OD，CO=CO，
∴△AOC≌△DOC（SAS）
∴∠CAO=∠CDO=90°，
∴OD⊥CD，且OD是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O半径为r，则OD=OB=r，
在Rt△ODE中，∵OD2+DE2=OE2，
∴r2+42=（r+2）2，解得r=3，
∴OB=3，
∵DB∥OC，
∴
即
∴CD=6；
（3）由（1）得△CDO≌△CAO，
∴AC=CD=6，
在Rt△AOC中，OC=，
∵∠AOG=∠COA，
∴△OAG∽△OCA，
∴，
即 ，
∴OG=，
∴CG=OC-OG=3-=，
∵OG∥BD，OA=OB，
∴OG为△ABD的中位线，
∴BD=2OG=，
∵CG∥BD，
∴
∴．