Question

如图．已知AB是⊙O的直径．C是⊙O上一点，直线CE与AB的延长线相交于点E，AD⊥CE于点D，AD交⊙O于点F．AC平分∠DAE．
（1）求证：CE是⊙O的切线．
（2）若DC+DF=6．⊙O的直径为10，求AF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAO，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAO，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∵OC为半径，
CE是⊙O的切线；

（2）解：设DC=x．则DF=6-x，过O作OH⊥AD于H，
∵AD⊥DE，OC⊥DE，
∴∠OHD=∠D=∠OCD=90°，
∴四边形OHDC是矩形，
∴DH=OC=5，FH=5-（6-x）=x-1，
∵OH⊥AF，
∴AH=FH=x-1，
在Rt△AOH中，AO²=AH²+HO²，
∴5²=（x-1）²+x²，
x=4，x=-3（不符合题意舍去），
∴AF=2FH=2（4-1）=6．
分析：（1）求出∠DAC=∠CAO，∠OCA=∠CAO，推出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，求出OC⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2））设DC=x．则DF=6-x，过O作OH⊥AD于H，得出四边形OHDC是矩形，推出DH=OC=5，FH=x-1，求出AH=FH=x-1，在Rt△AOH中，根据勾股定理得出5²=（x-1）²+x²，求出x=4，代入AF=2FH求出即可．
点评：本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．