分析 (1)对于直线解析式,分别令x与y为0求出对应y与x的值,即可求出A与B坐标;
(2)如图1所示,过P作PH垂直于x轴,由题意求出OQ=BP=1,在直角三角形AOB中,利用勾股定理求出AB的长,进而求出sin∠ABO的值,根据BP=t表示出PH,分情况分类讨论表示出S与t的函数关系式即可;
(3)存在点N,使得以点A,P,Q,N为顶点的四边形是矩形,分三种情况考虑:①如图2所示,当∠APQ=90°时,∠BPQ=∠AOB=90°;②如果∠PAQ=90°;③如果∠AQP=90°,当Q与O重合时,t=0,此时N坐标为(4,3),分别求出t的值,进而相应求出N的坐标即可.
解答 解:(1)对于直线y=-$\frac{3}{4}$x+3,
令x=0,得到y=3;令y=0,得到x=4,
∴A(0,3),B(4,0);
(2)如图1所示,过P作PH⊥x轴于H,
由题意得:OQ=BP=t,
由题意得:OA=3,OB=4,
在Rt△ABO中,∠AOB=90°,
根据勾股定理得:AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5,
∴sin∠ABO=$\frac{3}{5}$,
在Rt△PHB中,∠PHB=90°,BP=t,
∴PH=BPsin∠ABO=$\frac{3}{5}$t,
当0≤t<4时,S=$\frac{1}{2}$×OQ×PH=$\frac{1}{2}$×t×$\frac{3}{5}$t=$\frac{3}{10}$t2;
当4≤t<5时,点Q与点B重合,OQ=OB=4,PH=$\frac{3}{5}$t,
∴S=$\frac{1}{2}$×OQ×PH=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{5}$t=$\frac{6}{5}$t,
综上,S与t的函数解析式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{10}{t}^{2}(0≤t<4)}\\{\frac{6}{5}t(4≤t≤5)}\end{array}\right.$;
(3)存在以点A,P,Q,N为顶点的四边形是矩形,
①如图2所示,当∠APQ=90°时,∠BPQ=∠AOB=90°,
由(2)得:cos∠PBQ=$\frac{BP}{BQ}$,即$\frac{t}{4-t}$=$\frac{4}{5}$,
解得:t=$\frac{16}{9}$,此时N坐标为(-$\frac{4}{5}$,$\frac{29}{15}$);
②如果∠PAQ=90°,
∵∠OAB为锐角,∠PAQ<∠OAB,
∴不成立,∠PAQ≠90°;
③如果∠AQP=90°,当Q与O重合时,t=0,此时N坐标为(4,3),
当0<t≤5时,如图3所示,过P作PM⊥x轴于点M,
由①得:MB=$\frac{4}{5}$t,
∴QM=OB-OQ-BM=4-$\frac{9}{5}$t,
∵∠AOQ=∠QMP=∠AQP=90°,
∴∠OAQ=∠MQP,
∴Rt△AOQ∽Rt△QMP,
∴$\frac{AO}{QM}$=$\frac{OQ}{PM}$,
即$\frac{3}{4-\frac{9}{5}t}$=$\frac{t}{\frac{3}{5}t}$,
解得:t=$\frac{11}{9}$,此时N坐标为($\frac{9}{5}$,$\frac{56}{15}$),
综上所述,当t的值为0,$\frac{16}{9}$,$\frac{11}{9}$时,以点A,P,Q,N为顶点的四边形是矩形,点N的坐标分别为(4,3),(-$\frac{4}{5}$,$\frac{29}{15}$),($\frac{9}{5}$,$\frac{56}{15}$).
点评 此题属于一次函数综合题,涉及的知识有:一次函数与坐标轴的交点,勾股定理,坐标与图形性质,相似三角形的判定与性质,以及锐角三角函数定义,熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | (4,0) | B. | (4$\sqrt{2}$,0) | C. | (2,0) | D. | (2$\sqrt{2}$,0) |
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A. | 了解一批袋装食品是否含有防腐剂 | |
B. | 了解一批灯泡的使用寿命 | |
C. | 了解江苏卫视“非诚勿扰”节目的收视率 | |
D. | 了解某班学生“100米跑”的成绩 |
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A. | 3 | B. | 3.5 | C. | 4 | D. | 4.5 |
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