Question

1．综合与探究：如图，直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BA边向终点A运动，同时点Q以相同的速度从坐标原点O出发沿OB边向终点B运动，设点P运动的时间为t秒．
（1）求点A，B的坐标；
（2）设△OPQ的面积为S，求S与运动时间t之间的函数关系式；
（3）在点P，Q运动的过程中，是否存在点N，使得以点A，P，Q，N为顶点的四边形是矩形？若存在，求t的值并直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）对于直线解析式，分别令x与y为0求出对应y与x的值，即可求出A与B坐标；
（2）如图1所示，过P作PH垂直于x轴，由题意求出OQ=BP=1，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长，进而求出sin∠ABO的值，根据BP=t表示出PH，分情况分类讨论表示出S与t的函数关系式即可；
（3）存在点N，使得以点A，P，Q，N为顶点的四边形是矩形，分三种情况考虑：①如图2所示，当∠APQ=90°时，∠BPQ=∠AOB=90°；②如果∠PAQ=90°；③如果∠AQP=90°，当Q与O重合时，t=0，此时N坐标为（4，3），分别求出t的值，进而相应求出N的坐标即可．

解答 解：（1）对于直线y=-$\frac{3}{4}$x+3，
令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=4，
∴A（0，3），B（4，0）；
（2）如图1所示，过P作PH⊥x轴于H，

由题意得：OQ=BP=t，
由题意得：OA=3，OB=4，
在Rt△ABO中，∠AOB=90°，
根据勾股定理得：AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴sin∠ABO=$\frac{3}{5}$，
在Rt△PHB中，∠PHB=90°，BP=t，
∴PH=BPsin∠ABO=$\frac{3}{5}$t，
当0≤t＜4时，S=$\frac{1}{2}$×OQ×PH=$\frac{1}{2}$×t×$\frac{3}{5}$t=$\frac{3}{10}$t²；
当4≤t＜5时，点Q与点B重合，OQ=OB=4，PH=$\frac{3}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$×OQ×PH=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{5}$t=$\frac{6}{5}$t，
综上，S与t的函数解析式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{10}{t}^{2}（0≤t＜4）}\\{\frac{6}{5}t（4≤t≤5）}\end{array}\right.$；
（3）存在以点A，P，Q，N为顶点的四边形是矩形，
①如图2所示，当∠APQ=90°时，∠BPQ=∠AOB=90°，

由（2）得：cos∠PBQ=$\frac{BP}{BQ}$，即$\frac{t}{4-t}$=$\frac{4}{5}$，
解得：t=$\frac{16}{9}$，此时N坐标为（-$\frac{4}{5}$，$\frac{29}{15}$）；
②如果∠PAQ=90°，
∵∠OAB为锐角，∠PAQ＜∠OAB，
∴不成立，∠PAQ≠90°；
③如果∠AQP=90°，当Q与O重合时，t=0，此时N坐标为（4，3），
当0＜t≤5时，如图3所示，过P作PM⊥x轴于点M，

由①得：MB=$\frac{4}{5}$t，
∴QM=OB-OQ-BM=4-$\frac{9}{5}$t，
∵∠AOQ=∠QMP=∠AQP=90°，
∴∠OAQ=∠MQP，
∴Rt△AOQ∽Rt△QMP，
∴$\frac{AO}{QM}$=$\frac{OQ}{PM}$，
即$\frac{3}{4-\frac{9}{5}t}$=$\frac{t}{\frac{3}{5}t}$，
解得：t=$\frac{11}{9}$，此时N坐标为（$\frac{9}{5}$，$\frac{56}{15}$），
综上所述，当t的值为0，$\frac{16}{9}$，$\frac{11}{9}$时，以点A，P，Q，N为顶点的四边形是矩形，点N的坐标分别为（4，3），（-$\frac{4}{5}$，$\frac{29}{15}$），（$\frac{9}{5}$，$\frac{56}{15}$）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．