Question

【题目】如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N，给出下列结论：①∠AME=108°；②；③MN=；④．其中正确结论的序号是_____．

Answer 1

【答案】①、②、③

【解析】分析：（1）利用等腰三角形的性质，可以得到∠AME度数，(2)证明 △AEM∽△ADE，可以得到，（3）利用勾股定理求MN的长度，（4）最后求BE=CE=AD.

详解：

∵∠BAE=∠AED=108°，
∵AB=AE=DE，
∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，
∴∠AME=180°-∠EAM-∠AEM=108°，故①正确；
∵∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，
∴∠AEN=∠ANE，
∴AE=AN，
同理DE=DM，
∴AE=DM，
∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，
∴△AEM∽△ADE，
∴,

∴AE2=AMAD；
∴AN2=AMAD；故②正确；
∵AE2=AMAD，
∴22=（2-MN）（4-MN），
∴MN=3-,

；故③正确；
在正五边形ABCDE中，
∵BE=CE=AD=1+,

故④错误；
①、②、③正确.