Question

已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．

（1）如图①，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：
①

 

；②

 

；③

 

．
（2）如图②，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线．
（3）如图③，AB是非直径的弦，∠CAE=∠ABC，EF还是⊙O的切线吗？若是，请说明理由；若不是，请解释原因．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）根据切线的判断由AB⊥EF或∠BAE=90°可判断EF为⊙O的切线；
当∠ABC=∠EAC，根据圆周角定理得∠ABC+∠CAB=90°，所以∠EAC+∠CAB=90°，即AB⊥EF，于是也可判断EF为⊙O的切线；
（2）作直径AD，连结CD，由AD为直径得∠ACD=90°，则∠D+∠CAD=90°，根据圆周角定理得∠D=∠B，而∠CAE=∠B，所以∠CAE=∠D，则∠EAC+∠CAD=90°，根据切线的判定定理得到EF为⊙O的切线；
（3）作直径AD，连结CD，BD，由AD为直径得∠ABD=90°，而∠CAE=∠ABC，即∠DAE+∠DAC=∠ABD+∠DBC，而∠DAC=∠DBC，所以∠DAE=∠ABD=90°，
根据切线的判定即可得到EF为⊙O的切线．

解答：（1）解：当AB⊥EF或∠BAE=90°可判断EF为⊙O的切线；
当∠ABC=∠EAC，∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠EAC+∠CAB=90°，
∴AB⊥EF，
∴EF为⊙O的切线；
故答案为AB⊥EF、∠BAE=90°、∠ABC=∠EAC；

（2）证明：如图2，作直径AD，连结CD，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∵∠D=∠B，∠CAE=∠B，
∴∠CAE=∠D，
∴∠EAC+∠CAD=90°，
∴AD⊥EF，
∴EF为⊙O的切线；

（3）如图3，作直径AD，连结CD，BD，
∵AD为直径，
∴∠ABD=90°，
∵∠CAE=∠ABC，
∴∠DAE+∠DAC=∠ABD+∠DBC，
而∠DAC=∠DBC，
∴∠DAE=∠ABD=90°，
∴AD⊥EF，
∴EF为⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理．