Question

4．已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
①求证：BE=CF；
②若AF=5，BC=6，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 ①连接CD，根据垂直平分线性质可得BD=CD，可证RT△BDE≌RT△CDF，可得BE=CF；
②根据Rt△ADE≌Rt△ADF得出AE=AF解答即可．

解答 ①证明：连结CD，

∵D在BC的中垂线上
∴BD=CD
∵DE⊥AB，DF⊥AC
AD平分∠BAC
∴DE=DF
∠BED=∠DCF=90°
在RT△BDE和RT△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴RT△BDE≌RT△CDF（HL），
∴BE=CF；
②解：由（HL）可得，Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF=5，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC，
=（AE+BE）+BC+（AF-CF）
=5+6+5
=16．

点评 本题考查了直角三角形全等的判定，考查了垂直平分线的性质，考查了角平分线的性质，本题中求证RT△BDE≌RT△CDF是解题的关键．