Question

如图，抛物线y=（x+1）²+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）；
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得|PB-PC|的值最大？若存在，求出点P的坐标；
（3）如果点M是抛物线在第三象限的一动点；当M点运动到何处时，M点到AC的距离最大？求出此时的最大距离及M的坐标．

Answer 1

解：（1）抛物线y=（x+1）²+k的对称轴为直线x=-1，
把点C（0，-3）代入抛物线得，（0+1）²+k=-3，
解得k=-4；

（2）令y=0，则（x+1）²-4=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∴点A（-3，0），B（1，0），
由三角形的三边性质，|PB-PC|＜BC，
∴当点P、C、B在同一直线上时，|PB-PC|的值最大，
此时，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴直线BC的解析式为y=3x-3，
当x=-1时，y=3×（-1）-3=-6，
∴抛物线对称轴上存在点P（-1，-6），使得|PB-PC|的值最大；

（3）设直线AC的解析式为y=mx+n（m≠0），
则，
解得，
∴直线AC的解析式为y=-x-3，
过点M的直线与直线AC平行且与抛物线只有一个交点时距离最大，
此时，过点M的直线解析式设为y=-x+b，
联立，
消掉y得，x²+3x-3-b=0，
△=3²-4×1×（-3-b）=0，
解得b=-，
过点M的直线解析式为，y=-x-，
此时，x₁=x₂=-，
y₁=y₂=-，
∴点M的坐标为（-，-），
设过点M的直线与x轴的交点为D，
则由-x-=0，得x=-，
∴AD=-3-（-）=，
∵A（-3，0），C（0，-3），
∴OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC=45°，
∵MD∥AC，
∴∠ODM=∠OAC=45°，
∴直线MD与AC之间的距离=×=，
即M点到AC的距离最大值为．
分析：（1）根据抛物线解析式写出对称轴解析式即可，把点C的坐标代入抛物线解析式计算即可求出k值；
（2）令y=0，解关于x的一元二次方程得到点A、B的坐标，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点P、C、B在同一直线上时，|PB-PC|的值最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可；
（3）先求出直线AC的解析式，再根据平行线间的距离相等，过点M的直线与直线AC平行且与抛物线只有一个交点时距离最大，然后联立抛物线与直线解析式，根据△=0列式求出过点M的直线，即可得到点M的坐标，再求出直线与x轴的交点，然后利用直线与x轴的夹角为45°，利用正弦值列式计算即可求出最大距离．
点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数顶点式与对称轴，待定系数法求二次函数解析式，三角形的三边关系的利用，利用平行线间的距离确定点到直线的距离的最大值的方法，（2）判断出点P是直线BC与对称轴的交点是解题的关键，（3）确定出点M的位置与所在的直线是解题的关键．