Question

12．综合与探究：如图，抛物线y=ax²+bx+$\frac{12}{5}$与x轴交于A（-$\frac{9}{5}$，0），B（$\frac{16}{5}$，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，一动点P从点A出发，沿线段AB向终点B以每秒1个单位长度的速度运动；同时，点Q从点B出发，以相同的速度沿线段BC向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，连接PQ．设P，Q两点运动时间为t秒．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在点P，Q运动的过程中，△BPQ能否成为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；
（3）作点B关于直线PQ的对称点为D，连接PD，QD．当四边形APQC的面积最小时，判断点D是否在该抛物线上．

Answer 1

分析 （1）先求得点C的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+$\frac{9}{5}$）（x-$\frac{16}{5}$），将点C的坐标代入求得a的值即可；
（2）分为PB=QB、PQ=QB、PQ=PB三种情况进行解答即可；
（3）过点Q作QD⊥OB，垂足为D．先用含t的式子表示出PB、QD的长，然后依据四边形APQC的面积=△ABC的面积-△PBQ的面积列出四边形的面积与t的函数关系式，依据二次函数的性质可知当t=$\frac{5}{2}$时四边形的面积最小，然后再说明四边形DPBQ为菱形，然后可求得点D的坐标，然后可判断出点D是否在抛物线上．

解答 解：（1）将x=0代入抛物线的解析式得：y=$\frac{12}{5}$，
∴C（0，$\frac{12}{5}$）．
设抛物线的解析式为y=a（x+$\frac{9}{5}$）（x-$\frac{16}{5}$）．
将点C的坐标代入得：-$\frac{144}{25}$a=$\frac{12}{5}$，解得：a=-$\frac{12}{5}$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{5}{12}$x²+$\frac{7}{12}$x+$\frac{12}{5}$．

（2）当PB=QB时．
∵PB=AB-AP=5-t，QB=t，
∴5-t=t，解得t=$\frac{5}{2}$．
如图1当PQ=QB时，过点Q作QD⊥PB．

∵PQ=QB，QD⊥PB，
∴PD=BD．
∴BD=$\frac{1}{2}$PB．
∴$\frac{4}{5}$t=$\frac{1}{2}$（5-t），解得：t=$\frac{25}{13}$．
如图2所示：当PQ=PB时，作PD⊥QB，垂足为D．

∵PQ=PB，PD⊥QB，
∴QD=BD．
∴DB=$\frac{1}{2}$QB．
∴$\frac{1}{2}$t=$\frac{4}{5}$（5-t），解得t=$\frac{40}{13}$．
综上所述，当t的值$\frac{5}{2}$或$\frac{40}{13}$或$\frac{25}{13}$时，△PBQ为等腰三角形．

（3）点 D 不在抛物线上．
理由：如图3所示：过点Q作QD⊥OB，垂足为D．

∵QD=$\frac{3}{5}$QB=$\frac{3}{5}t$，PB=5-t，
∴△PBQ的面积=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$t（5-t）=-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{3}{2}$t．
∵AB=5，OC=$\frac{12}{5}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{12}{5}$=6．
∴四边形APQC的面积=△ABC的面积-△PBQ的面积=6-（-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{3}{2}$t）=$\frac{3}{10}$t²-$\frac{3}{2}$t+6．
∴当t=$\frac{5}{2}$时，四边形APQC的面积有最小值．
∵BD=$\frac{3}{5}$BQ=$\frac{3}{5}$×$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，BD=$\frac{4}{5}$QB=2，
∴点Q（$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{2}$）．
∵当t=$\frac{5}{2}$时，PB=QB，
∴四边形DPBQ为菱形，
∴D（-$\frac{13}{10}$，$\frac{3}{2}$）．
∵点D的坐标不符抛物线的解析式，
∴点D不在抛物线上．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、翻折的性质，分类讨论是解答问题（2）的关键，证得四边形DPBQ为菱形，然后依据菱形的性质求得点D的坐标是解答问题（3）的关键．