Question

16．某风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，小明家把一步行台阶由倾角45°改为倾角为30°，已知原台阶坡面AB的长为5m（BC所在地面为水平面），结果准确到0.1m，参考数据：$\sqrt{2}≈1.41$，$\sqrt{3}≈1.73$
（1）改后的台阶坡面会加长多少？
（2）改好的台阶多占多长一段水平地面？

Answer 1

分析 （1）在直角三角形ABC中利用三角函数即可求得AC、然后在直角三角形ADC中求得AD的长，AD-AB即是所求的解．
（2）在Rt△ABC中，由BC=AB•cos45°求得BC长，再由CD=$\frac{AC}{tan30°}$求得CD的长，根据BD=CD-BC可得答案．

解答 解：（1）∵在直角三角形ABC中，AC=ABsin45°=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$（m）
在直角三角形ADC中，AD=$\frac{AC}{sin30°}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$÷$\frac{1}{2}$=5$\sqrt{2}$（米），
∴AD-AB=（5$\sqrt{2}$-5）（米）≈5×（1.414-1）=2.07≈2.1（米）．
即改善后的台阶坡面加长约2.1米．

（2）如图，在Rt△ABC中，BC=AB•cos45°=5cos45°=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$（米）．
在Rt△ACD中，CD=$\frac{AC}{tan30°}$=$\frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{2}$（米）．
∴BD=CD-BC=$\frac{5\sqrt{6}}{2}$-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$≈2.6（米）．
答：改善后的台阶多占2.6米长的一段水平地面．

点评 本题考查了解直角三角形，理解两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点．