Question

【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为边AC上的点,以AD为直径作⊙O,连接BD并延长交⊙O于点E,连接CE.

(1)若CE=BC,求证:CE是⊙O的切线.

(2)在(1)的条件下,若CD=2,BC=4,求⊙O的半径.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）3.

【解析】

（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，由∠1＋∠5＝90°得到∠2＋∠3＝90°，得∠OEC＝90°，于是得到结论；

（2）设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r＋2，由OE2＋CE2＝OC2得到关于r 的方程，即可求出半径．

解答：解：（1）如图，连接OE，

∵∠ACB＝90°，

∴∠1＋∠5＝90°．

∵CE＝BC，

∴∠1＝∠2．

∵OE＝OD，

∴∠3＝∠4．

又∵∠4＝∠5，

∴∠3＝∠5，

∴∠2＋∠3＝90°，即∠OEC＝90°，

∴OE⊥CE．

∵OE是⊙O的半径，

∴CE是⊙O的切线．

（2）在Rt△BCD中，∠DCB＝90°，CD＝2， BC=4

∴BC＝CE＝4．

设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r＋2，

在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，

∴OE2＋CE2＝OC2，

∴r2＋42＝（r＋2）2，

解得r＝3，

∴⊙O的半径为3．