Question

已知关于x的方程x²+kx-2=0．
（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程x²+kx-2=0的一个解与方程

x+1

x-1

=3的解相同．
（①求k的值；②求方程x²+kx-2=0的另一个解．

Answer 1

分析：（1）计算△=k²+8，由k²≥0，得到△＞0即可；
（2）先解分式方程得到x的值为1，然后把x=1代入方程x²+kx-2=0求出k的值，同时利用两根之积为-2得到另一个解．

解答：解：（1）△=k²-4×（-2）=k²+8，
∵k²≥0，
∴△＞0．
所以不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）方程

x+1

x-1

=3两边同乘以x-1得，x+1=3（x-1），解得x=2，经检验是原方程的解，所以x=2．
把x=2代入方程x²+kx-2=0，得4+2k-2=0，所以k=-1．
而方程两根之积为-2，所以另一个解为-1．
因此k=-1，另一个解为-1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了分式方程的解法和一元二次方程的根与系数的关系．