Question

7．如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB₁为边作正△AB₁C₁，△ABC与△AB₁C₁公共部分的面积记为S₁；再以正△AB₁C₁边B₁C₁上的高AB₂为边作正△AB₂C₂，△AB₁C₁与△AB₂C₂公共部分的面积记为S₂；…，以此类推，那么S₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{3}{4}$）³，则S_n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{3}{4}$）ⁿ．（用含n的式子表示）

Answer 1

分析 由AB₁为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B₁为BC的中点，求出BB₁的长，利用勾股定理求出AB₁的长，进而求出S₁，同理求出S₂，依此类推，得到S_n．

解答 解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB₁⊥BC，
∴BB₁=1，AB=2，
根据勾股定理得：AB₁=$\sqrt{3}$，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\sqrt{3}$）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{3}{4}$）¹；
∵等边三角形AB₁C₁的边长为$\sqrt{3}$，AB₂⊥B₁C₁，
∴B₁B₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AB₁=$\sqrt{3}$，
根据勾股定理得：AB₂=$\frac{3}{2}$，
∴S₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\frac{3}{2}$）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{3}{4}$）²；
依此类推，S_n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{3}{4}$）ⁿ；
∴S₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{3}{4}$）³，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{3}{4}$）³，$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{3}{4}$）ⁿ．

点评 此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．