Question

19．如图，直线y=kx-4与x轴，y轴分别交于B、C两点．且tan∠OBC=$\frac{4}{3}$．
（1）求点B的坐标及k的值；
（2）若点A是第一象限内直线y=kx-4上一动点．则当△AOB的面积为6时，求点A的坐标；
（3）在（2）成立的条件下．在坐标轴上找一点P，使得∠APC=90°，直接写出P点坐标．

Answer 1

分析 （1）由y=kx-4可知C（0，-4），即OC=4，根据tan∠OBC=$\frac{4}{3}$，得出OB=3，即可求得B的坐标为（3，0）；
（2）根据题意可知直线为y=$\frac{4}{3}$x-4，根据三角形的面积求得A的纵坐标，把A的纵坐标代入直线的解析式即可求得A的坐标；
（3）分两种情况分别讨论即可求得．

解答 解：（1）∵直线y=kx-4与x轴，y轴分别交于B、C两点，
∴OC=4，C（0，-4），
∵tan∠OBC=$\frac{4}{3}$，
∴OB=3，
∴B（3，0），
∴3k-4=0，
解得，k=$\frac{4}{3}$；
（2）如图2，

根据题意可知直线为y=$\frac{4}{3}$x-4，
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•y_A，
∴$\frac{1}{2}$×3×y_A=6，解得y_A═4，
∴把y=4代入y=$\frac{4}{3}$x-4得，4=$\frac{4}{3}$x-4，
解得x=6，
∴A（6，4）；
（3）如图2，作AD⊥x轴于D，
当P在y轴上时，∵∠APC=90°，
∴PA∥x轴，
∴OP=AD=4，
∴P（0，4），
当P在x轴上时，∵∠APC=90°，
∴∠APD+CPO=90°，
∴∠DAP=∠OPC，
∴△ADP∽△POC，
∴$\frac{OP}{AD}$=$\frac{OC}{DP}$，即$\frac{OP}{4}$=$\frac{4}{OP-6}$，
解得OP=-2或8，
∴P（-2，0）或（8，0），
综上，P的坐标为（0，4）或（-2，0）或（8，0）．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了直角三角函数，三角形的面积，三角形相似的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．