Question

5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：
①EF=BE+CF；
②∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
③点O到△ABC各边的距离相等；
④设OD=m，AE+AF=n，则S_△AEF=mn．
其中正确的结论是①②③．（填序号）

Answer 1

分析 由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD=m，AE+AF=n，则S_△AEF=$\frac{1}{2}$mn，故④错误．

解答 解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；故②正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，$\frac{1}{2}$∴S_△AEF=S_△AOE+S_△AOF=$\frac{1}{2}$AE•OM+$\frac{1}{2}$AF•OD=$\frac{1}{2}$OD•（AE+AF）=$\frac{1}{2}$mn；故④错误；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．
故答案是：①②③

点评 此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．