题目:如图1.△ABD.△AEC都是等边三角形.求证:BE=DC．由已知易证△ABE≌△ADC.得BE=DC．扩变:1．如图2.若△ABD.△AEC都是等腰直角三角形.∠D=∠E=90°.那么 BE=DC吗?2．如图3.若四边形ABFD.四边形ACGE都是正方形.(1)那么 BE=DC还成立吗?(2)BE⊥DC．3．如图4.若点A在线段BC上.△ABD.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目：如图1，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证：BE=DC．由已知易证△ABE≌△ADC，得BE=DC．

扩变：
1．如图2，若△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，∠D=∠E=90°，那么 BE=DC吗？
2．如图3，若四边形ABFD、四边形ACGE都是正方形，（1）那么 BE=DC还成立吗？（2）BE⊥DC．

3．如图4，若点A在线段BC上，△ABD，△AEC都是等边三角形，那么BE=DC吗？
4．在3题的条件下，若AD与BE交于F点，AE与CD交于G点，如图5．
（1）AF=AG吗？
（2）△AFG是等边三角形吗？为什么？

分析：1、由△ABD，△AEC都是等腰直角三角形得到AB=

AD，AC=

AE，∠DAB=∠EAC=45°，由于∠DAC=∠BAE，则可判断△ABE和△ADC不全等，于是BE与DC不相等．
2、（1）根据正方形的性质得到AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=90°，则∠DAC=∠BAE，根据“SAS”可判断△ABE≌△ADC，则BE=DC；
（2）由△ABE≌△ADC，则∠AEB=∠ACD，而∠BNC=∠ANE，于是∠ACD+∠BNC=∠AEB+∠ANE=90°，即BE⊥DC；
3、根据等边三角形的性质得到AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，则∠DAC=∠BAE，根据“SAS”可判断△ABE≌△ADC，则BE=DC；
4、（1）由△ABE≌△ADC得到∠ABE=∠ADC，根据“AAS”可判断△ABF≌△ADG（ASA），则AF=AG；
（2）由于AF=AG，而∠DAE=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△AFG是等边三角形．

解答：解：1．BE≠DC．理由如下：
∵△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，
∴AB=

AD，AC=

AE，∠DAB=∠EAC=45°，
∴∠DAC=∠BAE，
∴△ABE和△ADC不全等，
∴BE与DC不相等．
2．（1）BE=DC成立．理由如下：
∵四边形ABFD、四边形ACGE都是正方形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=90°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中

AB=AD

∠BAE=DAC

AE=AC

，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC；
（2）BE⊥DC．理由如下：AC与BE相交于N点，
∵△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，而∠BNC=∠ANE．
∴∠ACD+∠BNC=∠AEB+∠ANE=90°，
∴BE⊥DC；
3．BE=DC．理由如下：
∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中

AB=AD

∠BAE=DAC

AE=AC

，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC；

4．（1）AF=AG．理由如下：
∵△ABE≌△ADC，
∴∠ABE=∠ADC．
在△ABF和△ADG中

AB=AD

∠BAF=∠DAG

∠ABF=∠ADG

，
∴△ABF≌△ADG（ASA），
∴AF=AG．
（2）△AFG是等边三角形．理由如下：
∵AF=AG，
而∠DAE=60°，
∴△AFG是等边三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质以及等边三角形的判定与性质．

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（1）请按照小明的思路写出求解过程．
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证明：连接AP，∵S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP
又PE⊥AB，PF⊥AC，BG⊥AC
∴

AC•BG=

AB•PE+

AC•PF
∵AB=AC
∴BG=PE+PF
老师非常赞赏，面积法证明本题真简洁!老师又引导学生继续探索．
（1）当点P在CB延长线上时，上述结论是否成立？若不成立，探究三条线段之间PE，PF，BG之间的数量关系．写出猜想，不要求证明．
（2）①将“P为BC上一点”改成”P为正△ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E，F，M，G．有类似结论吗？请写出结论并证明．
②若点P在如图所示的位置时，①的结论是否成立？试探究四条线段PE，PF，PM，BG的数量关系．