Question

已知，关于x的一元二次方程x²-kx-6=0与x²-6x-k=0只有一个公共的根，那么方程x²-k|x|+2k+5=0所有的根的和是

 

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Answer 1

考点：一元二次方程的解,根与系数的关系

专题：计算题

分析：设一元二次方程x²-kx-6=0与x²-6x-k=0的公共根为t，根据方程解的定义得到t²-kt-6=0与t²-6t-k=0，两方程相减得到（k-6）t=k-6，则t=1，然后把t=1代入x²-kx-6=0得k=-5，则x²+5|x|-5=0，再分类讨论：当x≥0，x²+5x-5=0；当x＜0，x²-5x-5=0，然后利用根与系数的关系求解．

解答：解：设一元二次方程x²-kx-6=0与x²-6x-k=0的公共根为t，
根据题意得t²-kt-6=0与t²-6t-k=0，
∴（k-6）t=k-6，
∵t有唯一的值，
∴k-6≠0，
∴t=1，
把t=1代入x²-kx-6=0得1-k-6=0，解得k=-5，
∴x²+5|x|-5=0，
当x≥0，x²+5x-5=0，两根之和为-5；
当x＜0，x²-5x-5=0，两根之和为5，
∴方程x²-k|x|+2k+5=0所有的根的和是0．
故答案为0．

点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了根与系数的关系．