Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC和AB上，且AD＝AC，EB＝ED，分别延长ED、AC交于点F．

（1）求证：△ABD∽△FDC；

（2）求证：AE2＝BEEF．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解；

【解析】

(1)根据等腰三角形的性质得到∠ADC=∠ACD，∠B=∠BDE，根据三角形的外角的性质得到∠BAD=∠F，于是得到结论；
(2)根据相似三角形的性质得到，等量代换即可得到结论．

证明：（1）∵AD＝AC，

∴∠ADC＝∠ACD，

∵BE＝DE，

∴∠B＝∠BDE，

∵∠BDE＝∠CDF，

∴∠CDF＝∠B，

∵∠BAD＝∠ADC﹣∠B，∠F＝∠ACD﹣∠CDF，

∴∠BAD＝∠F，

∴△ABD∽△FDC；

（2）∵∠EAD＝∠F，∠AED＝∠FEA，

∴△AED∽△FEA，

∴，

∴AE2＝DEEF，

∵BE＝DE，

∴AE2＝BEEF．