Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E．

（1）求证：四边形AODE是菱形；
（2）连接BE，交AC于点F．若BE⊥ED于点E，求∠AOD的度数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AE∥BD，ED∥AC，

∴四边形AODE是平行四边形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OC= AC，OB=OD= BD，AC=BD，

∴OA=OC=OD，

∴四边形AODE是菱形

（2）解：连接OE，如图所示：

由（1）得：四边形AODE是菱形，

∴AE=OB=OA，

∵AE∥BD，

∴四边形AEOB是平行四边形，

∵BE⊥ED，ED∥AC，

∴BE⊥AC，

∴四边形AEOB是菱形，

∴AE=AB=OB，

∴AB=OB=OA，

∴△AOB是等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∴∠AOD=180°﹣60°=120°．

【解析】（1）先证明四边形AODE是平行四边形，再由矩形的性质得出OA=OC=OD，即可得出四边形AODE是菱形；（2）连接OE，由菱形的性质得出AE=OB=OA，证明四边形AEOB是菱形，得出AB=OB=OA，证出△AOB是等边三角形，得出∠AOB=60°，再由平角的定义即可得出结果