Question

20．我们把：“有一组邻角相等的凸四边形”叫做“等邻角四边形”．
（1）任意写出你所学过的特殊四边形中是“等邻角四边形”的一种图形的名称；
（2）在探究“等邻角四边形”性质时：
①小明画了一个“等邻角四边形”ABCD（如图1），其中∠A=∠B，AD=BC，此时他发现AB∥DC，请你证明此结论；
②由此小明猜想：“对于任意等邻角四边形，当一组对边相等时，另一组对边就平行”，请你直接判断这个命题是真命题还是假命题；
（3）已知：在“等邻角四边形”ABCD中，∠A=90°，∠C=60°，AB=6，BC=10，请画出相应图形，并直接写出CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据等邻边四边形的定义即可，
（2）①作出辅助线，判断出△DFA≌△CEB，再判断出四边形DFEC是平行四边形，即可；②举出反例来说明；
（3）分四种情况画图计算即可．

解答 解（1）矩形，
∵矩形的四个角都是直角，
根据“等邻角四边形”的定义，
得到矩形是“等邻角四边形”；
（2）①如图，

过点C作CE⊥AB，DF⊥AB，
∵∠DAB=∠CBA，
∴∠DAF=∠CBE，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠DFA=∠CEB=90°，
∵AD=BC，
∴△DFA≌△CEB，
∴DF=CE，
∵∠DFA=∠CEB=90°，
∴DF=EC，
∴四边形DFEC是平行四边形，
∴AB∥CD；
②假命题，
反例如图，

在等腰三角形的腰上取点D，E，使得DE=BC，四边形DBCE是等邻边四边形，没有对边平行．
（3）①∠D=∠A=90°，
如图，

作BE⊥DC，
∵∠D=∠A=∠BED=90°，
∴四边形ADEB是矩形，
∴DE=AB=6．
在Rt△BEC中，BC=10，∠C=60°，
∴CE=5，
∴CD=DE+CE=11，
②如图，∠A=∠B=90°

作CE⊥AD，
∵∠A=∠B=∠AEC=90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴AE=BC=10，CE=AB=6，
在Rt△CED中，∠DCE=∠BCE-∠BCD=30°，
∴CD=4$\sqrt{3}$，
③∠B=∠C=60°．
如图，延长AD，BC交于E

在Rt△ABE中，∠B=60°，AB=6，
∴BE=2AB=12，∠E=30°
∴CE=BE-BC=12-10=2，
∵∠BCD=60°，
∴∠CDE=∠CED=30°，
∴CD=CE=2，
④∠D=∠C=60°，
如图，延长DA，CB交于E，

∵∠D=∠C=60°，
∴∠E=60°，CD=CE，
在Rt△ABE中，∠E=60°，AB=6，
∴BE=4$\sqrt{3}$，
∴CD=BC+BE=10+4$\sqrt{3}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是作出图形，也是本题的难点．