Question

1．如图1，在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=3，E、F、G、H分别在矩形的四条边上，EF与GH交于点O．连结HE、GF．
（1）若HE∥GF，求证：△AEH∽△CFG
（2）当点E、G分别与点A、B重合时，如图2所示，若点F是CD的中点，且∠AHB=∠AFB，求AH+BH的值
（3）当GH⊥EF，HE∥FG时，如图所示，若FO：OE=3：2，且阴影部分的面积等于$\frac{26}{15}$，求EF，HG的长

Answer 1

分析 （1）如图1，利用平行线的性质，由AD∥BC得到∠AHG=∠CGH，由HE∥GF得到∠EHG=∠FGH，则∠AHE=∠CGF，则可根据相似三角形的判定方法可得到△AEH∽△CFG；
（2）如图2，先证明△AOH∽△BOF得到$\frac{AO}{BO}$=$\frac{HO}{FO}$，∠OAH=∠OBF，利用比例性质得$\frac{AO}{HO}$=$\frac{BO}{FO}$，再加上∠AOB=∠FOH可判断△AOB∽△FOH，所以∠BAO=∠FHO，于是可证明∠BFH=90°，接下来证明△DHF∽△CFB，然后利用相似比可计算出DH，从而得到AH的长，最后利用勾股定理计算BH的长，于是可得到AH+BH的值；
（3）如图3，作HM⊥BC于M，FN⊥AB于N，则HM=AB=2，FN=BC=3，先证明Rt△GHM∽Rt△EFN得到$\frac{HG}{FE}$=$\frac{HM}{FN}$=$\frac{2}{3}$，设FO=3x，则OE=2x，FE=5x，HG=$\frac{10}{3}$x，再证明△HEO∽△GFO，利用相似比可得到OH=$\frac{2}{5}$HG=$\frac{4}{3}$x，则OG=2x，接着利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{3}$x•2x+$\frac{1}{2}$•2x•3x=$\frac{26}{15}$，然后解方程求出x后计算5x和$\frac{10}{3}$x的值即可．

解答 （1）证明：如图1，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠A=∠C=90°，
∴∠AHG=∠CGH，
∵HE∥GF，
∴∠EHG=∠FGH，
∴∠AHG-∠EHG=∠CGH-∠FGH，
即∠AHE=∠CGF，
∵∠A=∠C，
∴△AEH∽△CFG；
（2）如图2，
∵∠AHB=∠AFB，∠AOH=∠BOF，
∴△AOH∽△BOF，
∴$\frac{AO}{BO}$=$\frac{HO}{FO}$，∠OAH=∠OBF，
即$\frac{AO}{HO}$=$\frac{BO}{FO}$，
∵∠AOB=∠FOH，
∴△AOB∽△FOH，
∴∠BAO=∠FHO，
∵∠BAO+∠OAH=90°，
∴∠BHF+∠HBF=90°，
∴∠BFH=90°，
∴∠HFD+∠BFC=90°，
而∠HFD+∠DHF=90°，
∴∠DHF=∠BFC，
而∠D=∠C，
∴△DHF∽△CFB，
∴$\frac{DH}{FC}$=$\frac{DF}{CB}$，
∵DF=FC=1，BC=3，
∴$\frac{DH}{1}$=$\frac{1}{3}$，解得DH=$\frac{1}{3}$，
∴AH=AD-DH=3-$\frac{1}{3}$=$\frac{8}{3}$，
在Rt△ABH中，BH=$\sqrt{A{H}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{8}{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{10}{3}$，
∴AH+BH=$\frac{8}{3}$+$\frac{10}{3}$=6；
（3）解：如图3，作HM⊥BC于M，FN⊥AB于N，则HM=AB=2，FN=BC=3，
∵HG⊥EF，HM⊥FN，
∴∠GHM=∠EFN，
∴Rt△GHM∽Rt△EFN，
∴$\frac{HG}{FE}$=$\frac{HM}{FN}$=$\frac{2}{3}$，
∵FO：OE=3：2，
∴设FO=3x，则OE=2x，FE=5x，
∴HG=$\frac{10}{3}$x，
∵HE∥FG，
∴△HEO∽△GFO，
∴$\frac{OH}{OG}$=$\frac{OE}{OF}$=$\frac{2}{3}$，
∴OH=$\frac{2}{5}$HG=$\frac{2}{5}$$•\frac{10}{3}$x=$\frac{4}{3}$x，
∴OG=HG-OH=2x，
∵阴影部分的面积等于$\frac{26}{15}$，
∴$\frac{1}{2}$•OH•OE+$\frac{1}{2}$•OF•OG=$\frac{26}{15}$，即$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{3}$x•2x+$\frac{1}{2}$•2x•3x=$\frac{26}{15}$，解得x=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴EF=5x=$\sqrt{10}$，HG=$\frac{10}{3}$x=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题考查了相似形的综合题：熟练掌握矩形的性质、相似三角形的三个判定定理和相似三角形的性质；在判定三角形相似时充分利用公共角和对顶角；灵活应用比例的性质．