Question

7、已知a是实数，且a³+3a²+3a+2=0，则（a+1）²⁰⁰⁸+（a+1）²⁰⁰⁹+（a+1）²⁰¹⁰的值是

1

．

Answer 1

分析：首先对a³+3a²+3a+2=0进行因式分解，转化为（a+2）（a²+a+1）=0，因而可得a+2=0或a²+a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1）²⁰⁰⁸+（a+1）²⁰⁰⁹+（a+1）²⁰¹⁰的值．

解答：解：∵a³+3a²+3a+2=0?（a³+1）+（3a²+3a）+1=0?（a+1）（a²-a+1）+3a（a+1）+1=0?（a+1）（a²-a+1+3a）+1=0
?（a+1）³+1=0?（a+2）[（a+1）²+1-（a+1）]=0?（a+2）[（a+1）²-a]=0?（a+2）（a²+a+1）=0
∴a+2=0或a²+a+1=0
当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1）²⁰⁰⁸+（a+1）²⁰⁰⁹+（a+1）²⁰¹⁰=1-1+1=1
当a²+a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故答案为1

点评：本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、完全平方式进行因式分解，进而确定a的值．