分析:首先对a3+3a2+3a+2=0进行因式分解,转化为(a+2)(a2+a+1)=0,因而可得a+2=0或a2+a+1=0,分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值.进而求出(a+1)2008+(a+1)2009+(a+1)2010的值.
解答:解:∵a3+3a2+3a+2=0?(a3+1)+(3a2+3a)+1=0?(a+1)(a2-a+1)+3a(a+1)+1=0?(a+1)(a2-a+1+3a)+1=0
?(a+1)3+1=0?(a+2)[(a+1)2+1-(a+1)]=0?(a+2)[(a+1)2-a]=0?(a+2)(a2+a+1)=0
∴a+2=0或a2+a+1=0
当a+2=0时,即a+1=-1,则(a+1)2008+(a+1)2009+(a+1)2010=1-1+1=1
当a2+a+1=0,因为a是实数,而△=1-4=-3<0,所以a无解.
故答案为1
点评:本题考查因式分解.解决本题的关键是灵活运用立方和公式、完全平方式进行因式分解,进而确定a的值.