Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y=的图像上．

（1）k= ；

（2）在x轴的负半轴上存在一点 P ，使得S△AOP=S△AOB，求点P的坐标；

（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图像上，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）;（2）点P的坐标为（-2，0）. （3）点E在该反比例函数的图象上，理由见解析.

【解析】

（1）把A的坐标代入反比例函数的表达式，即可求出答案；

（2）根据C点的坐标求出OC、AC的长，可证得△OAC∽△BOC，由相似三角形对应边成比例列出比例式求出BC的长，然后根据三角形面积公式求出△OAB的面积，根据已知S△AOP=S△AOB，求出OP长，即可求出答案；

（3）先解△OAB，得出∠ABO=30°，再根据旋转的性质求出E点坐标为（-，-1），即可求解．

解：（1）把A（，1）代入反比例函数y=得：k=1×=；

（2）∵A（，1），AB⊥x轴于点C，∴OC=，AC=1.

∵OA⊥OB，AB⊥x轴，

∴△OAC∽△BOC，

∴OC2=AC·BC，

可得BC=3，

∴B（，-3），AB=4，

∴S△AOB＝××4=2，∴S△AOP=S△AOB=，

设点P的坐标是为（m，0），∴×|m|×1=，∴|m|=2.

∵P是x轴负半轴上的点，

∴m=-2，

即点P的坐标为（-2，0）.

（3）点E在该反比例函数的图象上，理由如下：

∵OA⊥OB，OA=2，OB=2，AB=4，

∴sin∠ABO===，

∴∠ABO=30°.

∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，

∴∠OBD=60°，BO=BD=2，OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，∠ABD=30°+60°=90°.

又BD-OC=，BC-DE=1，

∴E（-，-1），

而(-1)×(-)=.

∴点E在该反比例函数的图象上.