Question

13．如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了$\frac{17}{8}$s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．

Answer 1

分析 当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，即CF=1.5cm，又因为∠EFC=∠O=90°，所以△EFC∽△DCO，利用对应边的比相等即可求出EF的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出t的值，要注意t的取值范围为0≤t≤4．

解答 解：当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，
此时，CF=1.5，
∵AC=2t，BD=$\frac{3}{2}$t，
∴OC=8-2t，OD=6-$\frac{3}{2}$t，
∵点E是OC的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$OC=4-t，
∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO
∴△EFC∽△DCO
∴$\frac{EF}{OD}$=$\frac{CF}{OC}$
∴EF=$\frac{3OD}{2OC}$=$\frac{3（6-\frac{3}{2}t）}{2（8-2t）}$=$\frac{9}{8}$
由勾股定理可知：CE²=CF²+EF²，
∴（4-t）²=$（\frac{3}{2}）^{2}$+$（\frac{9}{8}）^{2}$，
解得：t=$\frac{17}{8}$或t=$\frac{47}{8}$，
∵0≤t≤4，
∴t=$\frac{17}{8}$．
故答案为：$\frac{17}{8}$

点评 本题考查圆的切线性质，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质等知识，题目综合程度较高，很好地考查学生综合运用知识的能力．