Question

（2005•遵义）如图，点P在x正半轴上，以P为圆心的⊙P与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，⊙P的半径是4，CD=4

3

．
（1）过点C作⊙P的切线交x轴于点E，求点E的坐标；
（2）若

S△CBO

S△PCO

=n，求满足下列二个条件的抛物线的解析式：
①过点P、E；
②抛物线的顶点到x轴的距离为n．

Answer 1

分析：（1）连接PC，在在直角△OPC中利用勾股定理即可求得OP的长，得到P的坐标，利用待定系数法求得直线PC的解析式，然后根据EC与PC垂直，即可得到直线EC的一次项系数，然后利用待定系数法求得直线EC的解析式，令y=0求得E的坐标；
（2）分别求得△CBO和△PCO的面积，即可求得n的值，从而求得抛物线的顶点坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式．

解答：解：（1）连接PC，在在直角△OPC中，PC=4，OC=

1

2

CD=2

3

，
则OP=

PC2-OC2

=

16-12

=2，
则P的坐标是（2，0），C的坐标是：（0，2

3

），
设直线PC的解析式是：y=kx+b，
则

b=2 3 2k+b=0

，
解得：

b=2 3 k=- 3

，
则直线EC的一次项系数是：

3

3

，
设直线EC的解析式是：y=

3

3

x+c，把C（0，2

3

）代入，得：c=2

3

，
则EC的解析式是：y=

3

3

x+2

3

，
令y=0，解得：x=-6，
则E的坐标是：（-6，0）；

（2）OP=2，则OB=2+4=6，
则S_△CBO=

1

2

OB•OC=

1

2

×6×2

3

=6

3

，
S_△PCO=

1

2

OP•OC=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
则n=

6 3

2 3

=3，
∵P的坐标是（2，0），E的坐标是（-6，0），
∴顶点的横坐标是-1，
当顶点的坐标是（-1，2）时，设函数的解析式是：y=a（x+1）²+2，把（2，0）代入，得：9a+2=2，解得：a=0（不合题意，舍去），
当顶点坐标是（-1，-2）时，设函数的解析式是：y=a（x+1）²-2，把（2，0）代入解析式得：9a-2=2，
解得：a=

4

9

，
则函数的解析式是：y=

4

9

（x+1）²-2．

点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，以及直线互相垂直的条件的综合应用，正确求得E的坐标是关键．