Question

5．观察下列各式：
$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{20}$=$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，…
（1）由此可推导出$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$；
（2）猜想出能表示上述特点的一般规律，用含字母n的等式表示出来（n是正整数）；
（3）请用（2）中的规律计算$\frac{1}{（x+1）（x+2）}$+$\frac{1}{（x+2）（x+3）}$+…+$\frac{1}{（x+99）（x+100）}$的结果．

Answer 1

分析 （1）根据拆项法，可得答案；
（2）根据拆项法，可得规律；
（3）根据规律，可得答案．

解答 解：（1）$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{6×7}$=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$，
故答案为：$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$，
（2）规律：$\frac{1}{{n}^{2}+n}$$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（3）原式=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{x+2}$-$\frac{1}{x+3}$+…+$\frac{1}{x+99}$-$\frac{1}{x+100}$
=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x+100}$
=$\frac{99}{（x+1）（x+100）}$．

点评 本题考查了分式的加减，利用拆项法得出相反数的项是解题关键．