Question

已知，矩形ABCO在直角坐标系的第一象限内，如图，点A、C的坐标分别为（1，0）、（0，3），现将矩形ABCO绕点B逆时针旋转得矩形A′BC′O′，使点O′落在x轴的正半轴上，且AB与C′O′交于点D，求：
（1）点O′的坐标；
（2）线段AD的长度；
（3）经过两点O′、C′的直线的函数表达式．

Answer 1

分析：（1）连接BO和BO'，由题意知OA=O'A，从而得出点O′的坐标；
（2）先证明Rt△BDC'≌Rt△O'DA，可得C'D=AD=m，再由勾股定理即可求出m的长；
（3）设经过点O'、C'的直线的函数表达式为y=kx+b，先求出点O′，D的坐标，再用待定系数法即可求解．

解答：解：（1）连接BO和BO'，由题意知OA=O'A
∴点O'的坐标为（2，0）；

（2）设AD=m
∵BC'=O'A=1，∠BC'D=∠O'AD=90°，∠BDC'=∠O'DA
∴Rt△BDC'≌Rt△O'DA
∴C'D=AD=m
则DO'=3-m
在Rt△ADO'中，AD²+AO'²=DO'²
∴m²+1²=（3-m）²
解之得：m=

4

3

∴线段AD的长度为

4

3

．

（3）设经过点O'、C'的直线的函数表达式为y=kx+b
由（1）和（2）得点O'的坐标为（2，0），点D的坐标为（1，

4

3

）
而点O'和D都在这条直线上，∴

0=2k+b 4 3 =k+b

解之得：k=-

4

3

，b=

8

3

∴经过点O'、C'的直线的函数表达式为y=-

4

3

x+

8

3

．

点评：本题考查了一次函数综合题及全等三角形的证明，难度适中，关键是掌握用待定系数法求解函数解析式．