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随着人们对健康认知度的提高,人们对食品的健康要求也越来越高,我市对食品安全检查的力度也越来越强.某一奶制品企业经销某种牛奶,已知每箱牛奶的成本为40元,其每个月的销量y(万箱)与销售单价x(元)的关系如下表所示(x为5的倍数,且x≤80元).
售价x
(元)
6065707580
月销量y
(万箱)
65.554.54
又已知该企业每月销售该种牛奶的总开支z(万元)(不含牛奶成本)与销量y(万箱)存在函数关系:z=10y+42.
(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,求出月销量y与售价x之间的函数关系式;
(2)当售价定为何值时,月销售利润最大?且最大是多少?
(3)到今年2月底止,该企业都在获得最大利润的基础上进行销售,从今年3月份开始,该企业为满足人们需要,积极响应市里号召,停止生产该种牛奶准备加工生产一种高优质牛奶,于是采取了一系列优化措施,其中添置生产处理设备共250万元,并增加安全技术人员50名,这样每月的总开支(不含牛奶成本)将比2月份增加5万元,而一箱牛奶的成本比原来增加了25%,但该企业为了促销新品种牛奶,3月份每箱牛奶的售价却比2月份下降了25%,3月的销量比2月增加了40%,到了4月份取消促销活动,每箱牛奶的价格在3月份的基础上增加了n%,销量在3月份的基础上增加了0.25n%,以这样的销售持续到5月底,则从2月到5月共获利润295万元,试估计n的整数值.(322=1024,332=1089,342=1156)

解:(1)设解析式为y=kx+b,
将(60,6),(70,5)分别代入解析式得,

解得
则解析式为y=-x+12;

(2)设月销售利润为W,由题意,得
W=(x-40)(-0.1x+12)-(10y+42)
=-0.1x2+12x+4x-480-10(-0.1x+12)-42
=-0.1(x-85)2+80.5,
∵a=-0.1<0,
∴抛物线的开口向下,在抛物线的左侧W随x的增大而增大,
∴当x=85时,W有最大值80.5.
∵x为5的倍数,且x≤80元,
∴x=80时,W有最大值:78;

(3)由题意,得
二月的销量为:-x80+12=4,
二月的总开支为:10×4+42=82万元,
∴3月的成本价为40×(1+25%)=50元,
售价为80(1-25%)=60元.
销量为4(1+40%)=5.6万箱.
∴3月的利润为:5.6(60-50)-82-5-250=-281万元.
∴4月份售价为60(1+n%),销量为:5.6(1+0.25n%),
∴4月的利润为:[60(1+n%)-50][5.6(1+0.25n%)]-87,
∴{[60(1+n%)-50][5.6(1+0.25n%)]-87}×2+78-281=295,
设n%=m,则{[60(1+m)-50][5.6(1+0.25m)]-87}×2+78-281=295,
化简为:6m2+25m-20=0
解得m=
m1=(不符合题意,应舍去).
m2==66.7%.
∴n=67.
分析:(1)由于图中数据为均匀变化,故可猜想y与x为一次函数关系,设出解析式,利用待定系数法即可求解;
(2)先利用销量乘以每件的销售利润减去月总开支就是每月的销售利润,然后化为顶点式就可以求出月销售的最大利润;
(3)由(2)可以得出最高售价是80元,最大利润是78万元,可以得出2月份的销售数量为4万箱、总开支为82万元.再通过数量关系表示出3月的成本价为40×(1+25%)元,售价为80(1-25%)元,销量为4(1+40%)万箱,就可以求出3月的利润,再通过3月销售情况及数量关系求出4月、5月的销售利润建立等量关系,就可以n的值.
点评:考查了待定系数法求一次函数的解析式,二次函数的解析式及顶点式求函数的最值.在解答时要注意未知数的值要使实际问题有意义.
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