Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接CE．

(1)判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

(2)若E是弧AC的中点，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）CD与圆O相切，证明见解析；（2）；

【解析】

（1）只要证明OC∥AD即可解决问题．
（2）只要证明四边形AECO是菱形，∠DEC=∠DAO=60°，根据S阴影=S△DEC即可解决问题．

(1)CD与圆O相切，理由如下：

∵AC为∠DAB的平分线，

∴∠DAC=∠BAC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

则CD与圆O相切；

(2)连接EB，交OC于F，

∵AB为直径，

∴∠AEB=90°，

∴EB∥CD，

∵CD与⊙O相切，C为切点，

∴OC⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠EAC=∠ACO，

∵弧AE=弧EC，

∴AE=EC，

∴∠EAC=∠ECA，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠ECA=∠OAC，

∴EC∥OA，

∴四边形AECO是平行四边形，

∵OA=OC，

∴四边形AECO是菱形，

∴AE=EC=OA=OC=2，易知∠DEC=∠DAO=60°，

∴DE=EC=1，DC=DE=

∵点O为AB的中点，∴OF为ΔABE的中位线，

∴OF=AE=1，即CF=DE=1，在RtΔOBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC=，

则．