Question

22、如图，AB为⊙O直径，C为圆上任一点，作弦CD⊥AB，垂足为H．连接OC．
（1）说明∠ACO=∠BCD成立的理由；
（2）作∠OCD的平分线CE交⊙O于E，连接OE（点D、E可以重合），求出点E在弧ADB的具体位置，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接AE，判断圆上是否存在点C，使△ACE为等腰三角形，若存在，请你写出∠CAE的度数．（不用写出推理过程）

Answer 1

分析：（1）由垂径定理可知弧BD=弧BC，可得∠BCD=∠A，由半径相等，得∠A=∠ACO，推出结论；
（2）E为弧ADB的中点． 由∠ACO=∠BCD及∠OCE=∠DCE，可得∠ACE=∠BCE，得$widehat{AE}$=$widehat{BE}$，可证E为弧ADB的中点；
（3）存在．当AC=CE时，∠AOE=90°，则∠ACE=45°，∠CAE=$frac{1}{2}$（180°-∠ACE），当AC=AE时，∠CAE=90°，当CE=AE时，∠CAE=45°．

解答：解：（1）∵CD⊥直径AB，
∴弧BD=弧BC（垂径定理），
∴∠BCD=∠A，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠ACO=∠BCD；

（2）E为弧ADB的中点．
理由：∵CE平分∠OCD，
∴∠OCE=∠DCE，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∴∠OEC=∠DCE，
∴OE∥CD，
又∵CD⊥AB∴OE⊥AB，
∴E为弧ADB的中点；

（3）当AC=CE时，∠CAB=67.5°，
当AC=AE时，∠CAE=90°，
当CE=AE时，∠CAE=45°．

点评：本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，圆周角定理．关键是利用垂径定理得出弧相等，圆周角相等．