Question

9．如图，在平面直角坐标系中放置一顶点为A，B，O的直角三角形，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°得到△A₁B₁O．抛物线y=-x²+x+2经过A，B，B₁三点．
（1）求直线A₁B₁的解析式；
（2）设点C是在抛物线上第一象限内的一点，△COB₁的面积是△ABO面积的2倍，求C点坐标；
（3）线段AB上是否存在一点P，使以点P，A₁，B为顶点的三角形与△ABO相似？若存在，请求出$\frac{{A}_{1}P}{OA}$的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令抛物线y=-x²+x+2的y=0，得到A（-1，0），B（2，0），根据旋转的性质得到90°得到A₁（0，1），根据待定系数法得到A₁B₁的解析式；
（2）设C点坐标为（m，-m²+m+2），根据三角形面积公式和等量关系列出方程，解方程即可求得C点坐标；
（3）先根据勾股定理得到AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，根据线段的和差故选得到A₁ B，再分两种情况：①当△P₁A₁B～△OAB时；②当△P₂A₁B～△AOB时，根据相似三角形的性质进行讨论即可求解．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+x+2与x轴交点为A，B₁，
∴-x²+x+2=0，
解得x₁=2或x₂=-1，
即A（-1，0），B（2，0）．    
∵△ABO绕点O顺时针旋转90°得到△A₁B₁O，
∴OA=OA₁=1，
∴A₁（0，1）．
设A₁B₁的解析式为y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$．
故所求的A₁B₁的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1．    
（2）设C点坐标为（m，-m²+m+2），
∴S_△COB1=$\frac{1}{2}$OB₁•（-m²+m+2）=$\frac{1}{2}$×2×（-m²+m+2）．    
∵S_△ABO=$\frac{1}{2}$×1×2=1，
∴-m²+m+2=2．
m²-m=0，
m（m-1）=0，
m₁=0（不符合题意，舍去），m₂=1，
∴C（1，2）．    
（3）存在．符合条件的P点有两个，记为P₁，P₂，如图：

∵A（-1，0），B（0，2），A₁（0，1）．
∴在Rt△AOB中，
AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
A₁B=2-1=1．
①当△P₁A₁B～△OAB时，
$\frac{{P}_{1}{A}_{1}}{OA}$=$\frac{{A}_{1}B}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；          
②当△P₂A₁B～△AOB时，
$\frac{{P}_{2}{A}_{1}}{OA}$=$\frac{{A}_{1}B}{OB}$=$\frac{1}{2}$．

点评 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的坐标特征，旋转的性质，待定系数法求直线的解析式，三角形面积公式，勾股定理，相似三角形的性质，方程思想和分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．