Question

某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场（平面图如图，其中，正方形MNPQ与四个相同矩形（图中阴影部分）的面积的和为800m²．
（1）设矩形的边长AB=x（m），AM=y（m），用含x的代数式表示y为

 

；
（2）现计划在正方形区域上建成雕塑和花坛，平均每平方米造价为2 100元，在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元，在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．
①设该工程的总造价为s（元），求s关于x的函数关系；
②若该工程的银行贷款为235 000元，问仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由；
③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73 000元，请问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意，正方形MNPQ与四个相同矩形（图中阴影部分）的面积的和为800m²列出关系式即可．
（2）①可根据等量关系：总造价=矩形区域铺花岗岩的造价+四角直角三角形中铺草坪的造价来得出关于s，x，y的等量关系式，然后根据①中y，x的关系式用x替换掉y，即可得出s，x的函数关系式．
②根据①的函数的性质即可得出S的最小值是多少，如果S的最小值大于银行贷款的数额，那么只靠银行贷款就不能完成此项目，反之则能．
③可将银行贷款与追加的金额的和（即S的值）代入①的函数式中即可求出x的值．进而可根据x，y即AB，AM的长来设计方案．

解答：解：（1）y=

800-x2

4x

（0＜x＜20

2

）．

（2）①s=2100x²+105×4xy+40×4×

1

2

y²
=2100x²+420x×

800-x2

4x

+80（

200

x

-

x

4

）²
=2000x²+

3 200 000

x2

+76000（0＜x＜20

2

）．
②s=2000（x²+

1 600

x2

-80）+76000+2000×80=2000×（x-

40

x

）²+236000＞235000．
∴光靠银行贷款不能完成该工程的建设任务．
③由s=235000+73000=308000，
2000x²+

3 200 000

x2

+76000=308000，
即x²-116+

1 600

x2

=0．
设x²=t，
得t²-116t+1600=0，
得t₁=100，t₂=16．
当t=100时，x²=100，x₁=10，x₂=-10（舍去）．此时y=17.5；
当t=16时，x²=16，x=±4（舍去负值），此时y=49．
故设计方案为
情形一：正方形区域边长为10m，四个相同的矩形区域的长和宽分别为17.5m和10m，四个相同的三角形区域的直角边长为17.5m．
情形二：正方形区域的边长为4m，四个相同的矩形区域的长和宽分别为49m和4m，四个相同的三角形区域的直角边长均为49m．
（设计方案不同，得出的结果就不同）

点评：本题结合实际问题考查了二次函数以及一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系从而列出函数关系式是解题的关键．