Question

我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：
如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．
我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB′．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB′，与直线l的交点，就是要求的点P．
有很多问题都可用类似的方法去思考解决．
探究：
（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连结EP，CP，则EP+CP的最小值是

 

；
（2）如图4，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小；（不写作法，保留作图痕迹）
（3）如图5，平面直角坐标系中有两点A（6，4）、B（4，6），在y轴上找一点C，在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点C的坐标应该是

 

，点D的坐标应该是

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）C的对称点是点A，则AE的长度就是EP+CP的最小值，据此即可求解；
（2）作D关于OM和ON的对称点，则对称点的连线与OM、ON的交点就是B、C；
（3）作点B关于y轴的对称点B'，作A关于x轴的对称点A’，求得直线A'B'的解析式，直线与y轴和x轴的交点就是C和D．

解答：解：（1）连接AE，则EP+CP的最小值=AE=

AB2+BE2

=

5

．
；
（2）如图所示：

点B，C即为所求作的点；
（3）作点B关于y轴的对称点B'，作A关于x轴的对称点A’，
则B'的坐标是（-4，6），A'的对称点是（6，-4）．
设直线A'B'的解析式是y=kx+b，
根据题意得：

-4k+b=6 6k+b=-4

，
解得：

k=-1 b=2

，
则直线的解析式是：y=-x+2，
令x=0，解得：y=2，则C的坐标是（0，2）；
令y=0，解得：x=2，则D的坐标是（2，0）．

故答案是：（0，2），（2，0）．

点评：本题主要考查了最短线路问题，解题的关键是根据“两点之间，线段最短”，并且利用了正方形的轴对称性．