Question

2．阅读探索题：
（1）如图1，OP是∠MON的平分线，以O为圆心任意长为半径作弧，交射线ON，OM为C，B两点，在射线OP上任取一点A（O点除外），连接AB，AC，求证：△AOB≌△AOC．
（2）请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
①如图2：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系；
②如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据以O为圆心任意长为半径作弧，交射线ON，OM为C，B两点，OP是∠MON的平分线，运用SAS判定△AOB≌△AOC即可；
（2）先截取CE=CA，连接DE，根据SAS判定△CAD≌△CED，得出AD=DE，∠A=∠CED=60°，AC=CE，进而得出结论BC=AC+AD；
（3）先截取AE=AD，连接CE，作CH⊥AB，垂足为点H，根据△ADC≌△AEC，在Rt△ACH和Rt△CEH中，设EH=HB=x，利用CH为公共边，列出方程17²-（9+x）²=10²-x²，求得x的值即可得到AB的长．

解答 解：（1）如图1，以O为圆心任意长为半径作弧，交射线ON，OM为C，B两点，则OB=OC，
∵OP是∠MON的平分线，
∴∠AOB=∠AOC，
在△AOB和△AOC，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠AOB=∠AOC}\\{OA=OA}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△AOC（SAS）；

（2）BC=AC+AD
如图2，截取CE=CA，连接DE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
在△ACD与△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CE}\\{∠ACD=∠ECD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△CED（SAS），
∴AD=DE，∠A=∠CED=60°，AC=CE，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴∠B=∠EDB=30°，
∴DE=EB=AD，
∴BC=AC+AD；

（3）如图，截取AE=AD，连接CE，作CH⊥AB，垂足为点H，
同理△ADC≌△AEC，
∴AE=AD=9，CD=CE=10=CB，
∵CH⊥AB，CE=CB，
∴EH=HB，
设EH=HB=x，
在Rt△ACH和Rt△CEH中
17²-（9+x）²=10²-x²，
解得：x=6，
∴AB=21．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据线段的和差关系进行推导．解题时注意方程思想的运用．