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15.如图,抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点C,交x轴于点A,B(A在B的左边),顶点为E,对称轴直线EF交x轴于点F,CD∥x轴交抛物线于点D,连结BD交EF于点G.若点B(2,0),且△BCG恰为直角三角形,则EF的长为$\frac{25}{4}$.

分析 连接AG,由二次函数的性质得出A、G、C三点共线,且AF=BF,设抛物线的对称轴为x=m,得出OA=-2m+2,AB=-2m+4,证明△AOC∽△COB,得出OC2=OA•OB,得出方程,解方程得出A的坐标,求出二次函数的解析式,化成顶点式,即可得出结果.

解答 解:连接AG,如图所示:
由二次函数的性质得:A、G、C三点共线,且AF=BF,
设抛物线的对称轴为x=m,
∵B(2,0),
∴OF=-m,AF=BF=-m+2,
∴OA=-2m+2,AB=-2m+4,
∵抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点C,
∴C(0,4),
∴OC=4,
若△BCG为直角三角形,则∠BCG=90°,
∵OC⊥AB,
∴△AOC∽△COB,
∴OA:OC=OC:OB,
∴OC2=OA•OB,即42=2(-2m+2),
解得:m=-3,
∴OA=8,
∴A(-8,0),
把A(-8,0),B(2,0)代入抛物线y=ax2+bx+4得:$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+4=0}\\{64a-8b+4=0}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$,
∴抛物线y=-$\frac{1}{4}$x2-$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{4}$(x+3)2+$\frac{25}{4}$;
∴EF的长为$\frac{25}{4}$;
故答案为:$\frac{25}{4}$.

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数的解析式;熟练掌握二次函数的性质,证明三角形相似求出A的坐标是解决问题的关键.

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