Question

7．如图所示，△ABC为等边三角形，QR⊥AB于R，PQ⊥AC于Q，PR⊥BC于P，且AR=BP=CQ，求证：△RPQ为等边三角形．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°，根据QR⊥AB于R，PQ⊥AC于Q，PR⊥BC于P，得出∠ARQ=∠BPR=∠CQP=90°，然后根据AAS证得△ARQ≌△BPR≌△CQP，根据全等三角形的性质得出QR=RP=PQ，即可证得结论．

解答 证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵QR⊥AB于R，PQ⊥AC于Q，PR⊥BC于P，
∴∠ARQ=∠BPR=∠CQP=90°，
在△ARQ、△BPR和△CQP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B=∠C}\\{∠ARQ=∠BPR=∠CQP}\\{AR=BP=CQ}\end{array}\right.$
∴△ARQ≌△BPR≌△CQP（AAS），
∴QR=RP=PQ，
∴△RPQ为等边三角形．

点评 本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．