Question

【题目】在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=10cm，等腰直角三角形DEF的顶点D为AB的中点．
（1）如图（1）所示，DE⊥AC于M，BC⊥DF于N，则DM与DN在数量上有什么关系？两个三角形重叠部分的面积是多少？

（2）在（1）的基础上，将三角形DEF绕着点D旋转一定的角度，且AC与DE相交于M，BC与DF相交于N，如图（2），则DM与DN在数量上有什么关系？两个三角形重叠部分的面积是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：连接DC，

∵AC=BC，D为AB的中点，∠ACB=90°，

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠A=∠B=45°，

∴∠A=∠DCN，AD=DC，

∵DM⊥AC，DN⊥BC，

∴∠DMA=∠DNC，

∴△ADM≌△CDN（AAS），

∴DM=DN，

则S重叠=S△DNC+S△DMC=S△DMA+S△DMC=S△ADC= S△ABC= × ×1×1= （cm2）

（2）

解：连接CD，则CD⊥AB，∠A=∠DCB=45°，AD=CD，

∵∠ADM+∠MDC=∠MDC+∠CDF=90°，

∴∠ADM=∠CDN，

∴△AMD≌△CND（ASA），

∴DM=DN，

同（1）可得S重叠= S△ABC= × ×1×1= （cm2）

【解析】（1）连接DC，由等腰直角三角形ABC及D为AB中点，利用三线合一得到CD垂直于AB，及两对角相等，利用AAS得到三角形ADM与三角形CDN全等，利用全等三角形对应边相等得到DM=DN，重叠部分面积等于三角形DNC与三角形DMC面积之和，等量代换等于三角形ADC面积，即为三角形ABC面积一半，求出即可；（2）连接DC，由等腰直角三角形ABC及D为AB中点，利用三线合一得到CD⊥AB，∠A=∠DCB=45°，AD=CD，利用同角的余角相等得到∠ADM=∠CDN，利用ASA得到三星级AMD与三角形CDN全等，利用全等三角形对应边相等得到DM=DN，同（1）求出重叠部分面积即可．