Question

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一边为1的正方形OABC，点B在x轴的正半轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB₁C₁，再以对角线OB₁为边作第三个正方形OB₁B₂C₂，…，照此规律作下去，则B₂的坐标是（0，2$\sqrt{2}$）；B₂₀₁₅的坐标是（${2}^{254}\sqrt{2}$，-${2}^{254}\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 根据正方形的性质找出部分B_n点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“B_8n（2⁴ⁿ$\sqrt{2}$，0），B_8n+1（2⁴ⁿ$\sqrt{2}$，2⁴ⁿ$\sqrt{2}$），B_8n+2（0，2⁴ⁿ⁺¹$\sqrt{2}$），B_8n+3（-2⁴ⁿ⁺¹$\sqrt{2}$，2⁴ⁿ⁺¹$\sqrt{2}$），B_8n+4（-2⁴ⁿ⁺²$\sqrt{2}$，0），B_8n+5（-2⁴ⁿ⁺²$\sqrt{2}$，-2⁴ⁿ⁺²$\sqrt{2}$），B_8n+6（0，-2⁴ⁿ⁺³$\sqrt{2}$），B_8n+7（2⁴ⁿ⁺³$\sqrt{2}$，-2⁴ⁿ⁺³$\sqrt{2}$），（n为自然数）”，依次规律即可得出结论．

解答 解：观察，发现规律：B（$\sqrt{2}$，0），B₁（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），B₂（0，2$\sqrt{2}$），B₃（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），B₄（-4$\sqrt{2}$，0），B₅（-4$\sqrt{2}$，-4$\sqrt{2}$），B₆（0，-8$\sqrt{2}$），B₇（8$\sqrt{2}$，-8$\sqrt{2}$），B₈（16$\sqrt{2}$，0），…，
∴B_8n（2⁴ⁿ$\sqrt{2}$，0），B_8n+1（2⁴ⁿ$\sqrt{2}$，2⁴ⁿ$\sqrt{2}$），B_8n+2（0，2⁴ⁿ⁺¹$\sqrt{2}$），B_8n+3（-2⁴ⁿ⁺¹$\sqrt{2}$，2⁴ⁿ⁺¹$\sqrt{2}$），B_8n+4（-2⁴ⁿ⁺²$\sqrt{2}$，0），B_8n+5（-2⁴ⁿ⁺²$\sqrt{2}$，-2⁴ⁿ⁺²$\sqrt{2}$），B_8n+6（0，-2⁴ⁿ⁺³$\sqrt{2}$），B_8n+7（2⁴ⁿ⁺³$\sqrt{2}$，-2⁴ⁿ⁺³$\sqrt{2}$），（n为自然数）．
∵2015=251×8+7，
∴B₂₀₁₅的坐标为（${2}^{254}\sqrt{2}$，-${2}^{254}\sqrt{2}$）．
故答案为：（0，2$\sqrt{2}$）；（${2}^{254}\sqrt{2}$，-${2}^{254}\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了规律型中坐标的变化类，解题的关键是找出坐标的变化规律．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据坐标的变化找出变化规律是关键．