Question

10．如图，△ABC的三条内角平分线交点在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-1，则tanA的值是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由题意得到BO为三角形的平分线，根据B与C的坐标确定出三角形BOC为等腰直角三角形，求出BC的长，确定出∠CBO的代数，进而求出∠ABC为直角，即三角形ABC为直角三角形，根据A在已知直线上，设出A（x，$\frac{1}{2}$x-1），在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解确定出A坐标，求出AB的长，利用锐角三角定义求出tanA的值即可．

解答 解：∵△ABC的三条内角平分线交点在y轴上，
∴BO平分∠ABC，即∠ABO=∠CBO，
∵B（0，2），C（2，0），
∴OB=OC=2，
∴△BOC为等腰直角三角形，即∠CBO=45°，
∴∠ABC=90°，
在Rt△BOC中，根据勾股定理得：BC=2$\sqrt{2}$，
由A在直线y=$\frac{1}{2}$x-1上，设A（x，$\frac{1}{2}$x-1），
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC²=AB²+BC²，即（x-2）²+（$\frac{1}{2}$x-1）²=x²+（$\frac{1}{2}$x-3）2+8，
解得：x=-6，
把x=-6代入得：$\frac{1}{2}$x-1=-3-1=-4，即A（-6，-4），
∴AB=$\sqrt{（-6-0）^{2}+（-4-2）^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
则tanA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．